導數的基本公式:y=c(c為常數)y'=0、y=x^ny'=nx^(n-1)。不是所有的函數都有導數,一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在,則稱其在這一點可導,否則稱為不可導。然而,可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。
1.y=c(c為常數) y'=0;
2.y=x^n y'=nx^(n-1);
3.y=a^x y'=a^xlna;
y=e^x y'=e^x;
4.y=logax y'=logae/x;
y=lnx y'=1/x;
5.y=sinx y'=cosx;
6.y=cosx y'=-sinx;
7.y=tanx y'=1/cos^2x;
8.y=cotx y'=-1/sin^2x。
導數是微積分中的重要基礎概念。當自變量的增量趨于零時,因變量的增量與自變量的增量之商的極限。
(1)若導數大于零,則單調遞增;若導數小于零,則單調遞減;導數等于零為函數駐點,不一定為極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。
(2)若已知函數為遞增函數,則導數大于等于零;若已知函數為遞減函數,則導數小于等于零。
如果函數的導函數在某一區間內恒大于零(或恒小于零),那么函數在這一區間內單調遞增(或單調遞減),這種區間也稱為函數的單調區間。
導函數等于零的點稱為函數的駐點,在這類點上函數可能會取得極大值或極小值(即極值可疑點)。進一步判斷則需要知道導函數在附近的符號。對于滿足的一點,如果存在使得在之前區間上都大于等于零,而在之后區間上都小于等于零,那么是一個極大值點,反之則為極小值點。
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