三角函數誘導公式記憶口訣 如何推導三角函數

三角函數一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。下文有途網小編給大家整理了三角函數誘導公式的口訣和推導，供參考！

三角函數誘導公式的記憶方法口訣

奇變偶不變，符號看象限。

“奇、偶”指的是π/2的倍數的奇偶，“變與不變”指的是三角函數的名稱的變化：“變”是指正弦變余弦，正切變余切。（反之亦然成立）“符號看象限”的含義是：把角α看做銳角，不考慮α角所在象限，看n·(π/2)±α是第幾象限角，從而得到等式右邊是正號還是負號。

通用口訣：

“一全正；二正弦；三正切；四余弦”。

1、第一象限內任何一個角的四種三角函數值都是“+”；

2、第二象限內只有正弦是“+”,其余全部是“-”；

3、第三象限內只有正切和余切是“+”,其余全部是“-”；

4、第四象限內只有余弦是“+”,其余全部是“-”。

三角函數誘導公式的推導

萬能公式推導

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，

（因為cos2(α)+sin2(α)=1）

再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]

然后用α/2代替α即可。

同理可推導余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。

三倍角公式推導

tan3α=sin3α/cos3α

=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα－sin3(α)]/[cos3(α)－cosαsin2(α)－2sin2(α)cosα]

上下同除以cos3(α)，得：

tan3α=[3tanα－tan3(α)]/[1-3tan2(α)]

sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα

=2sinαcos2(α)+[1－2sin2(α)]sinα

=2sinα－2sin3(α)+sinα－2sin3(α)

=3sinα－4sin3(α)

cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα

=[2cos2(α)－1]cosα－2cosαsin2(α)

=2cos3(α)－cosα+[2cosα－2cos3(α)]

=4cos3(α)－3cosα

即

sin3α=3sinα－4sin3(α)

cos3α=4cos3(α)－3cosα

和差化積公式推導

首先,我們知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

我們把兩式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

同理，若把兩式相減，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

同樣的，我們還知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以，把兩式相加，我們就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

同理，兩式相減我們就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

這樣，我們就得到了積化和差的公式：

cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

好，有了積化和差的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到和差化積的四個公式

我們把上述四個公式中的a+b設為x，a-b設為y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式:

sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]