換元法求不定積分

換元積分法可分為第一類換元法與第二類換元法。第一類換元法也叫湊微分法，通過湊微分，最后依托于某個積分公式，進而求得原不定積分。第二類換元法的變換式必須可逆，并且Φ（x）在相應(yīng)區(qū)間上是單調(diào)的。

第二類換元法經(jīng)常用于消去被積函數(shù)中的根式。當(dāng)被積函數(shù)是次數(shù)很高的二項式的時候，為了避免繁瑣的展開式，有時也可以使用第二類換元法求解。常用的換元手段有兩種： 根式代換法，三角代換法。

兩種換元法例題

第一類換元積分法

原式=∫(x-1+1)/根號下(x-1)dx

=∫[根號下(x-1)+1/根號下(x-1)]d(x-1)

=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根號下(x-1)+C，其中C是任意常數(shù)。

第二類換元積分法

令t=根號下(x-1)，則x=t^2+1，dx=2tdt

原式=∫(t^2+1)/t*2tdt

=2∫(t^2+1)dt

=(2/3)*t^3+2t+C

=(2/3)*(x-1)^(3/2)+2根號下(x-1)+C，其中C是任意常數(shù)。